Uma bola chutada, um jato de água, a trajetória de um salto: todas desenham uma parábola. A função do 2º grau prevê o tempo e a altura do objeto em cada instante.
Pense nisto: Qual o percurso no ar?
Uma bola é lançada para cima e sua altura em metros, t segundos depois, é h(t) = −5t2 + 20t. Qual o percurso no ar? Uma parábola, descrita por uma função quadrática.
| t (s) | h (m) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 15 |
| 2 | 20 |
| 3 | 15 |
| 4 | 0 |
Em qual instante a bola está de volta ao chão?
h(4) = −80 + 80 = 0. Sobe até t = 2 s (20 m) e desce simetricamente.
Para esboçar uma parábola, calcule pelo menos 5 pontos simétricos em torno do vértice: a curva é formada por pontos de mesma altura à esquerda e à direita do eixo de simetria.
Parábola y = ax² + bx + c
Lei:
f(−1), f(0), f(1):
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x² − 2x − 3 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 |
a = 1 > 0: concavidade para cima · corta o eixo y em (0, −3) · zeros −1 e 3 · valores simétricos em torno de x = 1.
Dada f(x) = x2 − 3x + 2, calcule f(−2) e f(3).
f(−2) = 12 e f(3) = 2.
Um retângulo tem lados x e x + 3 (em metros) e área 40 m². Qual o valor de x?
x = 5 m.
Com h(t) = −5t2 + 20t, em que instantes a altura é 15 m?
Aos 1 s (subindo) e aos 3 s (descendo).
Para f(x) = −2x2 + 4x + 6, dê a concavidade e o ponto em que o gráfico corta o eixo y.
Pare e tente sozinho (ou em dupla) por 1 minuto. Revele uma etapa por vez só para conferir o seu caminho.
Concavidade para baixo; corta o eixo y em (0, 6).
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
1. Se f(x) = x2 − 3x + 2, então f(−2) vale:
2. Um retângulo tem lados x e x + 3 e área 40 m². O menor lado mede:
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
Questão original, no formato do ENEM.
3. A altura (m) de uma bola é h(t) = −5t2 + 20t, com t em segundos. A altura em t = 3 s é:
4 + 6 + 2 = 12.
x2 + 3x − 40 = 0 ⇒ x = 5.
−45 + 60 = 15.
Com a = 0 a função é afim (bx + c), e não parábola.
c é o corte no eixo y; o vértice está em x = −b ÷ 2a.
(−2)2 = 4 e −22 = −4: use parênteses.
No contexto, x negativo (lado, tempo) é descartado.
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0.
Parábola; concavidade pelo sinal de a; corta y em (0, c).
Tabela com pontos simétricos.
Lei, tabela e parábola: a função do 2º grau em três passos.
Voltando ao início da aula: Qual o percurso no ar?
1. Qual é uma função quadrática?
2. Se a < 0, a parábola tem concavidade:
3. O gráfico de f(x) = x2 + 5x − 7 corta o eixo y em:
4. Se f(x) = x2 − 2x − 3, o ponto (1, −4):
Escolha como você saiu desta aula (isso fica só no seu aparelho):
Refaça sozinho as questões, sem olhar a resolução, e anote os erros no caderno.
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