Antes do GPS, navegadores descobriam onde estavam medindo ângulos. Esta aula revisa as duas ferramentas do triângulo que sustentam toda a trigonometria: a soma dos ângulos e o teorema de Pitágoras.
Navegadores usavam o sextante, que mede ângulos entre o horizonte e um astro. Com ângulos e uma medida conhecida, o triângulo formado revela as outras distâncias. Antes de chegar lá, precisamos dominar o triângulo.
Em um triângulo, dois ângulos medem 50° e 60°. O terceiro mede:
Os três somam 180°: 180° − 50° − 60° = 70°.
Antes de calcular, faça um esboço e marque o que é dado e o que se pede: metade dos erros em problemas de triângulo vem de um desenho que não existe.
Terceiro ângulo
Ângulo C:
Os ângulos de um triângulo medem x, 2x e 3x. Quanto mede o maior?
O maior ângulo mede 90°.
Em um triângulo, dois ângulos internos medem 35° e 75°. Quanto mede o ângulo externo ao terceiro vértice?
O ângulo externo mede 110°.
Hipotenusa a partir dos catetos
Hipotenusa:
Uma escada deve alcançar 6 m de altura em um poste e sua base ficará a 4 m dele. Qual o comprimento da escada?
A escada mede aproximadamente 7,2 m.
Uma rampa de 13 m de comprimento sobe até uma plataforma a 5 m de altura. Qual a distância horizontal percorrida?
A distância horizontal é de 12 m (terno pitagórico 5, 12, 13).
Uma tela retangular mede 40 cm por 30 cm. Quanto mede a diagonal?
Pare e tente sozinho (ou em dupla) por 1 minuto. Revele uma etapa por vez só para conferir o seu caminho.
A diagonal mede 50 cm (múltiplo do terno 3, 4, 5).
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
1. Os ângulos de um triângulo medem 100°, x e 36°. O valor de x é:
2. Um suporte tem base de 0,8 m e altura de 1,5 m. O comprimento da aba inclinada (hipotenusa) é:
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
3. Do topo de um farol de 7 m parte um feixe de luz de 25 m até o fim da sombra no mar. O comprimento da sombra é:
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
Questão original, no formato do ENEM.
4. Uma rampa liga o chão a uma entrada situada 1,2 m acima, e sua projeção horizontal no chão mede 1,6 m. O comprimento da rampa é:
180° − 100° − 36° = 44°.
0,82 + 1,52 = 0,64 + 2,25 = 2,89 e √2,89 = 1,7.
s2 = 252 − 72 = 625 − 49 = 576 ⇒ s = 24 m.
1,22 + 1,62 = 1,44 + 2,56 = 4 ⇒ 2 m.
A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto e o maior: c2 = a2 + b2, nunca o contrário.
3 + 4 ≠ 5 e √9 + 16 = 5: eleve primeiro, some, depois extraia a raiz.
O externo é suplementar do interno vizinho (soma 180°).
O teorema só vale com ângulo reto; em outros triângulos ele não funciona.
Os internos de um triângulo somam 180°; o externo é a soma dos dois internos opostos.
a2 + b2 = c2 com c a hipotenusa.
Esboço, dados no desenho, equação, conferência.
Com os ângulos e Pitágoras você já mede o que não alcança. Próxima aula: o seno, o cosseno e a tangente.
1. Dois ângulos de um triângulo medem 90° e 25°. O terceiro mede:
2. Em um triângulo retângulo de catetos 6 e 8, a hipotenusa mede:
3. A soma dos três ângulos externos de um triângulo é:
4. Em um triângulo retângulo com hipotenusa 17 e um cateto 8, o outro cateto mede:
Escolha como você saiu desta aula (isso fica só no seu aparelho):
Refaça sozinho as questões, sem olhar a resolução, e anote os erros no caderno.
Aulas de Matemática da 2ª série do Ensino Médio (2026) — organizadas, reescritas e ampliadas para estudo.
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