Matemática · 2ª série · Módulo 01 · Aula 1

Equação exponencial: a incógnita no expoente

Quando a incógnita aparece no expoente, temos uma equação exponencial. O caminho mais comum é reduzir os dois lados a uma potência da mesma base.

Pense nisto: Você tem 2 pais, 4 avós, 8 bisavós… o número de ancestrais dobra a cada geração: na geração x são 2^x ancestrais. Em qual geração há 32 ancestrais?

aˣ = aʸ mesma base S = { }

Ilustração original de contexto.

Conhecimentos prévios

A árvore genealógica

Você tem 2 pais, 4 avós, 8 bisavós… o número de ancestrais dobra a cada geração: na geração x são 2^x ancestrais. Em qual geração há 32 ancestrais?

2^x = 32 tem solução:

32 = 2⁵, logo x = 5. Alternativa B.

Objetivos da aula

O que você vai saber fazer

Identificar uma equação exponencial.
Resolvê-la reduzindo os dois membros a uma potência de mesma base.
Usar propriedades das potências e a substituição de variável.

Dica

Se a^x = a^y (com a > 0 e a ≠ 1), então x = y: igualdade de potências de mesma base implica igualdade dos expoentes.

Teoria · equação exponencial

Mesma base nos dois lados

Equação exponencial: a incógnita está no expoente de pelo menos uma potência. Ex.: 2^x = 32.
Passo 1: escreva os dois lados como potências de mesma base (fatore: 32 = 2⁵).
Passo 2: iguale os expoentes: 2^x = 2⁵ ⇒ x = 5.
Exemplo: 9^x = 27 ⇒ 3^2x = 3³ ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 32.

Propriedades que ajudam

a^m · aⁿ = a^m+n

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^m·n

a⁻ⁿ = 1aⁿ e a⁰ = 1

Exemplo resolvido passo a passo

Mesma base

Resolva 4^x = 32.

1

Decomponha

4 = 2² e 32 = 2⁵.

2

Igual base

(2²)^x = 2⁵ ⇒ 2^2x = 2⁵.

3

Expoentes

2x = 5 ⇒ x = 52.

Resultado

S = { 52 }.

Teoria · outros casos

Colocar em evidência e substituir

Soma de potências: 2^x+1 + 2^x+5 = 34 ⇒ 2^x(2 + 32) = 34 ⇒ 2^x = 1 ⇒ x = 0.
Equação do 2º grau escondida: 9^x − 4 · 3^x + 3 = 0. Faça y = 3^x: y² − 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 ou y = 3.
Volte: 3^x = 1 ⇒ x = 0; 3^x = 3 ⇒ x = 1. Logo S = {0, 1}.
Sem solução: 2^x = −4 (potência de base positiva nunca é negativa) ⇒ S = ∅.

Atenção

Ao substituir y = a^x, só servem as raízes positivas, pois a^x > 0 sempre.

Prática guiada

Substituição

Resolva 9^x − 10 · 3^x + 9 = 0.

Pare e tente sozinho (ou em dupla) por 1 minuto. Revele uma etapa por vez só para conferir o seu caminho.

1

Escreva 9^x

9^x = (3^x)².

2

Faça y = 3^x

y² − 10y + 9 = 0 ⇒ y = 1 ou y = 9.

3

Volte

3^x = 1 ⇒ x = 0; 3^x = 9 ⇒ x = 2.

Resultado

S = {0, 2}.

Prática independente

Agora é com você

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

1. A solução de 5^x = 125 é:

x = 2
x = 3
x = 4
x = 25

2. A solução de 8^x = 4 é:

x = 12
x = 23
x = 32
x = 2

Prática independente

Evidência

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

3. A solução de 2^x+1 + 2^x = 24 é:

x = 2
x = 3
x = 4
x = 6

Prática independente · Estilo SAEB

A área e a massa (ENEM 2012, adaptada)

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

Questão original, no formato do SAEB/ENEM.

4. A área A da superfície corporal relaciona-se com a massa m por A = k · m²³. Se a massa de uma pessoa é multiplicada por 8, por quanto fica multiplicada a área?

2
4
8
16
64

Correção comentada

Conferindo as respostas

1. Alternativa B

125 = 5³.

2. Alternativa B

2^3x = 2² ⇒ 3x = 2.

3. Alternativa B

2^x · (2 + 1) = 24 ⇒ 2^x = 8 ⇒ x = 3.

4. Alternativa B

(8m)²³ = 8²³ · m²³ = 4 · m²³.

Cuidados

Onde costuma dar errado

Igualar a base e esquecer o expoente

Quando as bases são iguais, iguale os expoentes.

Bases que parecem diferentes

4, 8 e 32 são potências de 2: decomponha.

Raiz negativa na substituição

Se y = 3^x, descarte y ≤ 0.

Somar bases

2^x + 2^x = 2 · 2^x = 2^x+1, e não 4^x.

Síntese

Três ideias para levar

Mesma base

aˣ = aʸ ⇒ x = y (a > 0 e a ≠ 1).

Técnicas

Fatorar, evidência e substituição y = aˣ.

Conjunto solução

Sempre confira se as raízes servem.

A mensagem central

Na próxima aula você define a função exponencial e calcula valores dela.

Pergunta de revisão

Voltando ao início da aula: Você tem 2 pais, 4 avós, 8 bisavós… o número de ancestrais dobra a cada geração: na geração x são 2^x ancestrais. Em qual geração há 32 ancestrais?

Pontos: 0/4

Exit ticket

Questões de saída

1. 3^x = 81 tem solução:

2. 2^x = 18 tem solução:

3. 4^x = 2 tem solução:

4. A equação 2^x = −3:

Questão de saída

O que ainda ficou difícil?

Escolha como você saiu desta aula (isso fica só no seu aparelho):

Para continuar

Referências e próximos passos

Refaça sozinho as questões, sem olhar a resolução, e anote os erros no caderno.

Referências

Aulas 69 a 71 do plano de Matemática da 2ª série (3º trimestre), reescritas e ampliadas com problemas originais.
Questões do ENEM só quando citadas; demais exercícios são originais.