Um boato dobra de alcance todo dia. Em quantos dias ele chega a 384 pessoas? Para responder, a incógnita precisa sair do expoente.
Pense nisto: Uma notícia falsa começa com 3 pessoas e, a cada dia, o número de pessoas que acreditam nela dobra: 3, 6, 12, 24… Depois de n dias há 3 · 2n pessoas.
Uma notícia falsa começa com 3 pessoas e, a cada dia, o número de pessoas que acreditam nela dobra: 3, 6, 12, 24… Depois de n dias há 3 · 2n pessoas.
| Dia | Pessoas |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 6 |
| 2 | 12 |
| 3 | 24 |
| 4 | 48 |
Depois de 3 dias, quantas pessoas acreditam no boato?
3 · 23 = 3 · 8 = 24 pessoas. Note que o número de dias aparece no expoente: isso é crescimento exponencial.
Comece sempre procurando a menor base comum: 4, 8, 16 e 32 são potências de 2; 9, 27 e 81 são potências de 3.
Resolva a^(px + q) = a^r
Equação:
Solução:
| Base | Potências para decorar |
|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 (de 21 a 28) |
| 3 | 3, 9, 27, 81, 243 (de 31 a 35) |
| 5 | 5, 25, 125, 625 (de 51 a 54) |
| 10 | 10, 100, 1 000, 10 000… |
(12)x = 2−x: para trocar a base de uma fração por seu inverso, troque o sinal do expoente.
√x = x1 ÷ 2: a raiz também é uma potência (expoente fracionário).
Resolva 2x = 32.
Solução: x = 5.
Resolva 9x = 27.
Solução: x = 32. Conferindo: 91,5 = (32)1,5 = 33 = 27 ✓.
Resolva 4x+1 = 8x−1.
Solução: x = 5. Conferindo: 46 = 4 096 e 84 = 4 096 ✓.
Resolva (12)x = 16.
Solução: x = −4. Conferindo: (12)−4 = 24 = 16 ✓.
Quando o boato chegará a 384 pessoas, se N(n) = 3 · 2n?
Pare e tente sozinho (ou em dupla) por 1 minuto. Revele uma etapa por vez só para conferir o seu caminho.
Em 7 dias o boato alcança 384 pessoas (3 · 128 = 384 ✓).
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
1. A solução de 3x = 243 é:
2. A solução de 25x = 125 é:
Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.
Questão original, no formato do ENEM.
3. Um vídeo é visto por 5 pessoas no primeiro minuto e, a cada minuto, o número total de visualizações triplica: após t minutos, V = 5 · 3t. Em quantos minutos o vídeo atinge 1 215 visualizações?
243 = 35, logo x = 5.
25 = 52 e 125 = 53: 52x = 53 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 1,5.
5 · 3t = 1 215 ⇒ 3t = 243 = 35 ⇒ t = 5.
Não é 2x = 8 ⇒ x = 4: a base fica e só os expoentes se igualam (x = 3).
Em 4x+1 = 22x+2, o expoente x+1 é multiplicado por 2 inteiro, não só o x.
(12)x = 2−x — o sinal do expoente muda ao inverter a base.
Se não houver base comum (como 2x = 5), é preciso logaritmo — assunto das próximas aulas.
Incógnita no expoente: 2x = 32.
Mesma base ⇒ iguale os expoentes.
Substitua x e verifique os dois lados.
Primeiro a base comum; depois, uma equação comum entre os expoentes.
Voltando ao início da aula: Uma notícia falsa começa com 3 pessoas e, a cada dia, o número de pessoas que acreditam nela dobra: 3, 6, 12, 24… Depois de n dias há 3 · 2n pessoas.
1. Qual destas é uma equação exponencial?
2. A solução de 2x = 64 é:
3. Se 5x = 53, então:
4. Escrevendo 9x = 32x usamos a propriedade:
Escolha como você saiu desta aula (isso fica só no seu aparelho):
Refaça sozinho as questões, sem olhar a resolução, e anote os erros no caderno.
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