Matemática · 9º ano · Fatoração e equações
Módulo 01 · Aula 1 · Fatoração: trinômio quadrado perfeito I
Matemática · 9º ano · Módulo 01 · Aula 1

Fatoração: trinômio quadrado perfeito I

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado do quadrado de uma soma ou de uma diferença: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.

Pense nisto: Um quadrado de lado x ganha uma faixa de 3 m em duas bordas e um canto 3 × 3. A nova área é x2 + 6x + 9, e o lado é x + 3.

reconhecendo com coeficientes
x + 312
Ilustração original de contexto.
Conhecimentos prévios

O quadrado que cresce

Um quadrado de lado x ganha uma faixa de 3 m em duas bordas e um canto 3 × 3. A nova área é x2 + 6x + 9, e o lado é x + 3.

x2 + 6x + 9 fatorado é:

2 · x · 3 = 6x. Alternativa A.

Objetivos da aula

O que você vai saber fazer

  • Reconhecer um trinômio quadrado perfeito.
  • Fatorá-lo como (a ± b)2.
  • Verificar o termo do meio.

Dica

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a2 − 2ab + b2 = (a − b)2.

Teoria · reconhecendo

Três condições

  • Dois termos são quadrados perfeitos (extremos).
  • O termo do meio é o dobro do produto das raízes dos extremos.
  • Sinal do meio: + ⇒ (a + b)2; − ⇒ (a − b)2.
Exemplo

x2 + 10x + 25: raízes x e 5; 2 · x · 5 = 10x ✓ ⇒ (x + 5)2.

Exemplo resolvido passo a passo

Fatorando

Fatore x2 − 8x + 16.

1
Raízes
x e 4.
2
Meio
2 · 4 = 8 ✓ (sinal −).

Resultado

(x − 4)2.

Teoria · com coeficientes

Extremos mais complexos

  • 4x2 − 12x + 9: raízes 2x e 3; 2 · 2x · 3 = 12x ✓ ⇒ (2x − 3)2.
  • 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2.
  • Se o meio não confere, não é quadrado perfeito.
Atenção

x2 + 4x + 9 não é quadrado perfeito (2 · 3 = 6 ≠ 4).

Prática guiada

Com coeficiente

Fatore 25y2 + 20y + 4.

Pare e tente sozinho (ou em dupla) por 1 minuto. Revele uma etapa por vez só para conferir o seu caminho.

1
Raízes
5y e 2.
2
Meio
2 · 5y · 2 = 20y ✓.

Resultado

(5y + 2)2.

Prática independente

Agora é com você

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

1. x2 + 14x + 49 fatorado é:

  1. (x + 7)2
  2. (x + 14)2
  3. (x − 7)2
  4. (x + 49)2

2. a2 − 6a + 9 fatorado é:

  1. (a + 3)2
  2. (a − 3)2
  3. (a − 9)2
  4. (a − 6)2
Prática independente

Questão 3

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

3. Qual é quadrado perfeito?

  1. x2 + 5x + 6
  2. x2 + 4x + 4
  3. x2 + 2x + 4
  4. x2 + 6x + 4
Prática independente · Estilo SAEB

A praça quadrada

Resolva no caderno. As respostas estão no slide de correção comentada.

Questão original, no formato do SAEB/ENEM.

4. A área de uma praça é x2 + 12x + 36 m². Quanto mede o lado?

  1. x + 6
  2. x + 12
  3. x + 36
  4. x − 6
Correção comentada

Conferindo as respostas

1. Alternativa A

2 · 7 = 14.

2. Alternativa B

2 · 3 = 6.

3. Alternativa B

2 · 2 = 4.

4. Alternativa A

(x + 6)2.

Cuidados

Onde costuma dar errado

Aceitar um meio que não confere

Cheque 2ab.

Errar o sinal da diferença

Meio negativo ⇒ (a − b)2.

Esquecer os coeficientes nos extremos

4x2 ⇒ raiz 2x.

Síntese

Três ideias para levar

Reconhecer

Extremos quadrados; meio 2ab.

Sinal

Do meio.

Conferir

Desenvolver o quadrado.

A mensagem central

Na próxima aula: Fatoração: trinômio quadrado perfeito II.

Pergunta de revisão

Voltando ao início da aula: Um quadrado de lado x ganha uma faixa de 3 m em duas bordas e um canto 3 × 3. A nova área é x2 + 6x + 9, e o lado é x + 3.

Pontos: 0/4
Exit ticket

Questões de saída

1. x2 + 2x + 1:

2. a2 − 10a + 25:

3. 4m2 + 4m + 1:

4. O meio é:

Questão de saída

O que ainda ficou difícil?

Escolha como você saiu desta aula (isso fica só no seu aparelho):

Para continuar

Referências e próximos passos

Refaça sozinho as questões, sem olhar a resolução, e anote os erros no caderno.

Referências

Aulas do plano de Matemática do 9º ano (RCO/NRE 2026), reescritas e ampliadas com problemas originais.
Exercícios e problemas originais (estilo SAEB); questões de provas oficiais só quando citadas.

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